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4.3 Integración Multiple

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como sigue:
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Al numerador se le llama integral doble.

Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente)  se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función sobre un área rectangular.
Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas.
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Primero se evalúa la integral  en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integración se incorpora en la segunda integración.
Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples , a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO
Planteamiento del problema: suponga que la temperatura en una placa rectangular se describe mediante la siguiente función:
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Si la placa tiene 8m de largo (dimensión x) y 6m de ancho (dimensión y), calcule la temperatura promedio.

SOLUCION: primero se usara la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión.

Las temperaturas en los valores x y y necesarios se representan en la figura 21.17. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa analíticamente, cuyo resultado seria 58.66667.
Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensión x con cada uno de los valores de y. Estos valores se integran después a lo largo de la dimensión y para dar como resultado final 2688. Dividiendo este entre el área se obtiene la temperatura promedio:2668/(6×8)=56.
También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento. Esta integral da como resultado de 2816 y un promedio de 58.66667, que es exacto . ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cúbicos. Como el término del grado mayor  en la función es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto.

Para funciones algebraicas de grado superior, así como funciones trascendentes, será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Además el capitulo 22 presenta técnicas más eficientes que las formulas de Newton-Cotes, para la evaluación de integrales de funciones dadas. Estas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples.

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