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4.2.1 Método del Trapecio

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación  es de primer grado:
76
Una línea recta se puede representar como:
1
753
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:
378
El resultado de la integración es:
7452
Que se denomina regla del trapecio.
Obtención de la regla del trapecio
Antes de la integración, la ecuación se puede expresar como:
7463
Agrupando los últimos 2 términos:
786
La cual puede integrarse entre x= ɑ y x =b para obtener:
453
Este resultado se evalúa para dar:
37536
Ahora como b² ‐ ɑ² = (b ‐ ɑ) (b + ɑ).
763
Multiplicando y agrupando términos se tiene:
78
Que es la fórmula para la regla del trapecio.
Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une ƒ (ɑ) y ƒ (b). Recuerde que la formula para calcular el area de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:
uiol
Error de la regla del trapecio
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:
jkl
Donde ᵹ está en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.
Ejemplo

  • Aplicación simple de la regla del trapecio.

*Planteamiento del problema.
Con la ecuación integre numéricamente
jkñl
Desde a=0 hasta b=0.8. recuerde de la sección PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analítica y es 1.640533.
SOLUCION: al evaluar la función en los limites
f(0)=0.2
f(0.8)=0.232
sustituyendo la ecuación se tiene que
asd
La cual representa un error de
hjk
Que corresponde a un error relativo porcentual de Ɛ1=89.5%.          En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimación del error aproximado.
Problema del método de los trapecios(MetTrape)
Integrar numéricamente la función erf(x) para x=0,34 utilizando su definición. Se busca tener un error inferior a la tercera cifra decimal.
Utilizando el método de los trapecios, se tiene:
eg241
Solución:
Es interesante constatar, desde el punto de vista numérico, la evolución de la precisión con respecto al tiempo de cálculo(tiempo en segundos para un IBM 50, 10 MHz con coprocesador matemático):
Influencia del numero de intervalos en el método de los trapecios.



# de divisiones

Resultado

Tiempo(s)

64

0.369362921747236

0,05

128

0.369364127446088

0,11

256

0.369364428870065

0,17

512

0.369364504226013

0,33

1024

0.369364523064997

0,71

2048

0.369364527774743

1,48

4096

0.369364528952180

2,91

8192

0.369364529246539

5,77

16384

0.369364529320128

11,58

32768

0.369364529338524

23,18

65536

0.369364529343126

46,36

131072

0.369364529344273

92,55

262144

0.369364529344566

184,88

524288

0.369364529344642

369,71

1048576

0.369364529344647

741,16

2097152

0.369364529344678

1478,32

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